Onde e como surgiram alguns símbolos matemáticos

A Matemática, que é considerada ciência exata, tem a particularidade da economia, devendo as suas operações – simples ou complexas – ocupar o mínimo espaço possível, tal como a estenografia (ou taquigrafia), que leva o apontador a recolher o máximo de informação em muito pouco tempo, ou seja, ao ritmo da fala do preletor.   

Assim, a Matemática criou muitos símbolos para facilitar a expressão e a operação. Com efeito, economiza mais escrever “5+8=13”, do que escrever “cinco mais oito fazem treze”.

Neste sentido, exige-se que os estudiosos tanto saibam traduzir, em linguagem matemática (simbólica), designações, expressões, asserções e raciocínios da linguagem corrente, como interpretar, em linguagem corrente, designações, expressões, proposições e raciocínios da linguagem matemática (simbólica). É de referir que há símbolos numéricos (por exemplo, 8) e símbolos não numéricos (=), como há letras a representar números (como as incógnitas x, y, z – aliás, em Álgebra, qualquer letra pode representar um valor numérico). 

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Os símbolos matemáticos são resultado do processo histórico de evolução. A Natureza, os animais e o tempo também são ótimos educadores. Vejamos alguns exemplos.

O Papiro de Ahmes (ou de Rhind e até Papiro de Moscovo), datado entre 1794 e 1550 a.C., já continha vários exercícios matemáticos e, neles, um par de pernas a caminhar para a frente indicava uma soma, e um par a caminhar para trás, uma subtração. Depois, ao longo da Idade Média, a Matemática desenvolveu-se, especialmente, entre os Árabes, que inventaram, por exemplo, as equações, mas ainda não usavam símbolos, sendo elas apenas escritas com palavras.

Os símbolos, como os conhecemos hoje, começaram a surgir, quando a Álgebra chegou à Europa, já no Renascimento. Primeiro, surgiu o de adição (+), criado, em 1360, pelo francês Nicole de Oresme, para substituir a palavra “et”, que, em Latim, significa “e” (a consoante “t” tem a cruz no topo). Em 1489, o alemão Johannes Widmann usou, pela primeira vez, este símbolo, numa publicação, e criou um sinal para subtração (-).

O sinal de igualdade (=) surgiu, em 1557, num livro do britânico Robert Recorde, que, aos 14 anos, já estudava na Universidade de Oxford e, aos 21, lecionava Matemática, enquanto estudava Medicina. Robert Recorde justificava o sinal, dizendo que nada pode ser mais igual do que dois segmentos de reta paralelos. A lenda que envolve tal criação diz que, quando ele precisava de escrever, por extenso, que um lado da equação era igual ao outro, aborrecia-se e resolveu usar um par de paralelas como símbolo da igualdade.

Robert Recorde escreveu vários livros sobre Astronomia, Geometria e Aritmética, em Inglês, ao invés do costume epocal de escrever em Latim, permitindo que mais pessoas os pudessem ler. O estudioso difundiu, ainda, outros símbolos matemáticos, no seu livro “A Pedra de Afiar”, de 1557.

O primeiro sinal de multiplicação foi o da cruz de Santo André (x), criado, em 1618, também na Inglaterra, por William Oughtread. E, ainda no século XVII, em 1698, o alemão Gottfried Leibniz inventou outro sinal: um ponto (.). E os Árabes até criaram um símbolo para a divisão no século XII – a barra diagonal (/) que seria usada, a partir de 1718, pelo inglês Thomas Twining, mas o primeiro sinal a popularizar-se foi o segmento de reta entre dois pontos (÷), criado, em 1659, pelo suíço Johann Rahn.

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O primeiro registo dos símbolos de adição e de subtração ocorreu na “Aritmética Comercial”, de Johann Widmann, publicada, em Leipzig, em 1489. No caso, esses símbolos eram usados apenas para representar excesso ou falta, não tendo ainda aspeto operacional. Embora inventados antes, vieram a ter uso geral, na Inglaterra, depois de usados, em 1557, por Robert Recorde.

No Papiro de Ahmes, atualmente no Museu Britânico, encontram-se símbolos para “mais” e para “menos”. O símbolo de adição é representado por um par de pernas a caminhar da esquerda para a direita, o sentido da escrita egípcia, e o de subtração é representado por um par de pernas a caminhar da direita para a esquerda, em sentido contrário à escrita egípcia.

Há quem acredite que o sinal de adição derive da palavra latina “plus”. Para simplificar passou a ser utilizada a letra “p” que resultou, com a velocidade da escrita, em duas linhas cruzadas, que acabaram sendo convertidas no sinal “+” utilizado hoje. E há a possibilidade de o símbolo de adição ser contração da palavra latina “et”, que significa “e”, que é um conectivo de adição.

O símbolo para indicar subtração pode ter derivado da contração da palavra latina “minus”, que, com o tempo, passou a ser escrita como a letra “m” e um tracinho em cima. Logo a palavra desapareceu e ficou só o tracinho.

Relativamente recente, o símbolo “×” para indicar multiplicação foi utilizado, pela primeira vez, por Willian Oughtred, na obra “Clavis Matematicae”, em 1631. O sinal é derivado da utilização do símbolo da cruz de Santo André para os cálculos de proporções. Proposto por Oughtred, foi adotado por um tempo, mas nem todos se convenceram. Leibniz (1698), por exemplo, escreveu uma carta a John Bernoulli com a seguinte ideia: “Eu não gosto de (×) como um símbolo para a multiplicação, porque é confundida facilmente com (x); frequentemente eu relaciono o produto entre duas quantidades por um ponto. Daí ao designar a relação uso, não um ponto, mas dois pontos, que eu uso também para a divisão.”

No ano de 1657, Oughtred utilizou um ponto (.) para representar a multiplicação e dois pontos (:) para representar a divisão. Foi Rouse Ball quem combinou dois símbolos já existentes para chegar à “÷”. Este símbolo é o resultado da combinação de “-“ e “:”.

O sinal “=”, como símbolo de igualdade, apareceu, pela primeira vez em 1557, na publicação “The Whetstone of Witte”, do matemático Robert Recorde. O matemático justificou o uso de um par de retas paralelas por não poder haver duas coisas mais iguais. O símbolo que utilizamos atualmente é versão reduzida da inventada por Recorde. Entretanto, François Viète, em 1591, utilizava o símbolo “=”, para representar, não a igualdade, mas a diferença entre duas coisas. René Descartes, em 1638, no sentido “±”, Johann Caramuel, como separação dos decimais, François Dulaurens, em 1667, e Samuel Reyher, em 1698, para identificar linhas paralelas, e Georg Paricius, como símbolo geral para separar números em processo aritmético, assim como utilizou “:” e “-”.

Apesar de não imaginarmos a Matemática sem o sinal de igual como “=”, muitas foram as adversidades para que símbolo e utilização fossem relacionados. Como muito da Matemática era representado por palavras, a igualdade já foi representada por “aequales”, “aequantur”, “esgale”, “faciunt”, “fera egale”, “phalam”, “ghelijck”, e até mesmo “gleich”. Depois, por abreviações como “aeq” e “pha”, além de muitos outros símbolos diferentes de “=”.

No século XVII, por exemplo, Pierre Hérigone representava a igualdade como 2|2, símbolo também utilizado representando desigualdade. Como isso causava confusão empregou “ﻥ” para a igualdade. René Descartes utilizava o símbolo “α”, o qual concorreu com o símbolo de Robert Recorde.

No ano de 1525, Christoff Rudolff publicou o livro “Coss”, onde usou para raiz quadrada o símbolo utilizado atualmente. Extrair a raiz quadrada de um número significa encontrar a medida do lado do quadrado com área igual ao número inicial. Como um quadrado é composto por quatro lados, podemos chamar estes lados de raízes do quadrado. Por meados de 1400, as operações matemáticas eram representadas literalmente e, no caso da raiz quadrada, não foi diferente. Do latim, radix quadrata, que significa raiz quadrada, originou o símbolo por nós hoje utilizado. Para simplificar a escrita das equações escrevia-se “radix 25”, por exemplo, para representar o que hoje escrevemos “√25”, com o tempo os escribas, que copiavam os livros, passaram a escrever simplesmente “r 25”.

Mas a forma representativa de raiz quadrada ainda sofreu modificações por conta de os livros serem manuscritos. O “r” manuscrito passou a sobrepor o número que estava depois dele, facilitando a visualização do número de que se desejava extrair a raiz quadrada, ou seja, o lado do quadrado cuja área era conhecida. Foi Albert Girard quem sugeriu escrever os índices das raízes por meio de números colocados na abertura em V do sinal da raiz quadrada, o que nos permitiu utilizar o mesmo símbolo para calcular raízes cúbicas, quárticas e raízes de qualquer outro índice.

A 16.ª letra do alfabeto grego, o pi “π” é a inicial de peripéreia (circunferência) e também da palavra grega “περίμετρος” (perímetro). O símbolo de “pi” representa a razão constante entre a medida do comprimento da circunferência (P – perímetro) e a medida do diâmetro. Relacionando o perímetro da circunferência com o diâmetro (D) encontra-se o valor de “3,1416…” Embora tenha aparecido, em 1706, em “Synopsis Palmariorum Matheseos” (“A New Introduction to the Mathematics”), o uso deste símbolo deve-se a Leonhard Euler, em 1737. Por isso, P = D x π.

O aparecimento do pi remonta ao Antigo Egito, ou seja, há mais de quatro mil anos, embora não fosse designado, então, pela letra grega que o tornou famoso. Alguns papiros antigos, mostram que os Egípcios estimaram que o valor do pi seria 3,16, ao passo que, para os Babilónios, seria de 3,125.

Por volta do século III a.C. o grego Arquimedes começou por calcular o perímetro de dois hexágonos, um inscrito e outro circunscrito numa circunferência. Ao aumentar o número de lados, até chegar aos 96, conseguiu uma aproximação para o valor do pi igual a 3,142. Usando a mesma técnica, Ptolomeu com um polígono de 720 lados obteve a estimativa de 3,1416. Por volta do século V, os Chineses, com um polígono de 3072 lados, obtiveram a estimativa de 3,14159. Os cálculos eram feitos à mão. E, no século XVI, o holandês Ludolph van Ceulen obteve o valor do pi com 35 casas decimais. Como se vê, trata-se de número não racional.

“Seno”, “cosseno”, “tangente” e “cotangente” são termos originados na Astronomia, que surgiram por erro de tradução. O matemático hindu Aryabhata terá elaborado tábuas de cordas semelhantes às tábuas de senos atuais, com base na elaborada por Ptolomeu. Essas tábuas eram denominadas “jya”. Os Árabes, ao traduzirem a palavra, sem preocupação com a pronúncia modificaram-na para “jyb”. Em 1150, Gerardo de Cremona, ao traduzir o termo para Latim, confundiu-o com a palavra “jayb”, que significa bolso, golfo ou seio, traduzindo-a para “sinus”, hoje chamado de “seno”. Para justificar tal nome, muitos matemáticos utilizam o gráfico da função, que é bastante sinuoso.

Edmund Gunter, em 1620, pensando na ideia do seno do ângulo complementar, combinou as palavras “complementar” e “seno”, criando o termo “cosseno”. Com a necessidade de se medirem alturas e sombras, originaram-se as funções “tangente” e “cotangente” (termos mais recentes), pois, em 1583, Thomas Fincke, observou que a sombra reversa vertical se situa na reta tangente ao círculo de raio igual ao comprimento do gnómon horizontal. E o termo “cotangente” deve-se a Edmund Gunter, que pensara na tangente do ângulo complementar, como no cosseno.

O símbolo “%” passou a ser utilizado a partir do século XV, mas a ideia já havia sido utilizada, muito antes, pelo imperador romano Augusto, que cobrava taxa de 1/100 sobre todas as mercadorias vendidas, e quanto à compra e venda de escravos ainda existiam as taxas de 1/20 e de 1/25, respetivamente. Ao observar que todas estas frações são redutíveis a centésimos, facilmente se entende por que, já naquela época, os cálculos eram feitos à base de percentagens.

À época, a expressão “20p100” era utilizada para o que representamos por “20%”. Este símbolo pode ter origem num manuscrito italiano anónimo de 1425. Em 1650, o símbolo foi representado por “per 0/0”; mais tarde, restou apenas o símbolo “0/0”, que passou, com o tempo, a ser escrito como “%”, que utilizamos hoje. O sinal de percentagem é encontrado em manuscritos do século XV, na aritmética comercial, na forma primitiva, onde este símbolo era encontrado após a palavra “por” e, depois, após a letra “p” como uma contração de “por cento”. Existe também a variação “0/00”, que significa “por mil”. Hoje, também temos a permilagem.

A notação “n!” (fatorial) foi introduzida por Christian Kramp (1760-1826), em 1808, como uma conveniência para a impressora.

O sinal “∞”, utilizado para representar o conceito de infinito, desde o século XVII, tem uma história mais antiga. O termo “infinito”, em Matemática, descreve algo que não tem fim nem limite. Este conceito é fundamental para muitos ramos da Matemática, desde a teoria dos números ao cálculo. Por exemplo, a série dos números inteiros é infinita, porque se pode sempre acrescentar mais um a qualquer número e, ao invés de todos os números reais, o infinito não pode ser medido nem quantificado. É ideia algo abstrata que, embora utilizada em operações matemáticas, não é um número no sentido tradicional.

Através da documentação e da literatura, sabe-se que o símbolo “∞” foi introduzido na Matemática, no século XVII (em 1656), por John Wallis, que o utilizou para representar uma quantidade “infinitamente grande”, que não tem fronteira nem limite. O símbolo deriva da palavra latina “infinitas”, que significa “sem limites”. E, embora Wallis não tenha explicado porque escolheu este símbolo, a escolha gerou várias teorias. Uma das hipóteses mais aceites é a de que Wallis se terá inspirado no símbolo romano para o número mil, “CIƆ”, utilizado para representar uma grande quantidade.

Outra teoria é a de que o símbolo do infinito está relacionado com Ouroboros, figura da mitologia grega e egípcia que representa serpentes a morderem as caudas umas das outras, formando um círculo sem fim, significando o caráter cíclico do universo e a eternidade, conceitos conexos com a ideia de infinito. Outra teoria coloca a lemniscata de Jacob Bernoulli (curva algébrica do quarto grau de equação cartesiana) como inspiração para o símbolo do infinito, ou seja, uma curva matemática de forma semelhante a “∞”. Embora tal curva tenha sido assim designada após o trabalho de Bernoulli, em 1694, crê-se que a sua forma influenciou a representação do infinito, devido à aparência de laço fechado e contínuo.

No entanto, antes de adotado na Matemática, o símbolo do infinito foi associado à alquimia e à religião. Na alquimia, representava a eternidade e o ciclo perpétuo de transformação, conceitos que estão no imo da noção matemática de infinito. Além disso, algumas das representações do analema solar, que traça a posição do Sol no céu durante um ano, têm forma semelhante à do símbolo do infinito, sugerindo ligação aos ciclos naturais e cósmicos.

Um longo e largo caminho, o dos símbolos matemáticos!

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09/01/2025